BAB. IV. VEKTOR
Motivasi
Saat ini, GPS
(Global Positioning System) telah digunakan untuk mengetahui posisi sebuah
kapal yang sedang berlayar di samudra. GPS menggunakan satelit untuk menentukan posisi sebuah objek dengan
akurat. Dahulu, sebelum dikenal GPS, para pelaut menggunakan peta & kompas
untuk menentukan posisi kapal ketika berada di tengah laut. Penentuan posisi,
baik dengan menggunakan kompas, peta, ataupun GPS, erat kaitanya dengan bahasan
vektor yang akan kita pelajari.
Inti Materi
A.
Pengertian Vektor
B.
Vektor di Ruang-2
C.
Vektor di Ruang-3
D.
Hasil Kali Titik
E.
Proyeksi Ortogonal
F.
Perbandingan Vektor
A. Pengertian Vektor
Vektor didefinisikan sebagai besaran yang mempunyai besar & arah. Secara
geometris vector adalah segmen-segmen garis berarah (panah-panah). Arah panah
menunjukkan arah vector dan panjang panah menyatakan besarnya. Ekor panah dinamakan titik awal dan ujung panah dinamakan
titik terminal. Pada bab ini vektor dinyatakan dengan huruf kecil tebal.
Contoh:
A adalah
titik awal vector u dan B adalah titik terminalnya, dapat ditulis
u =
.
B. Vektor di
R-2
Misal u
sebarang vector pada bidang, titik awal vector u di tempatkan di
titik asal koordinat. Komponen-komponen vector u adalah koordinat
titik terminal u yaitu (u1,u2),
ditulis u = (u1,u2).
Aljabar Vektor di Bidang
Jika v
= (v1, v2) dan w = (w1, w2)
dan k sebarang scalar, maka berlaku :
Contoh:
Misal u
= (-1, 2) dan v = (3, 4), w
= (0, -3). tentukan komponendari vector 2u + v - 3w
Jawab :
2u
+ v – 3w = (2(-1, 2) + (3, 4) – 3(0, -3))
= (-2 + 3 - 0, 4 + 4 – ( -9))
= (1, 17)
Komponen-komponen vector dengan titik
awal P1(x1, y1) dan titik
terminal P2 = (x2, y2 )
adalah
Dan jarak antara kedua titik P1 dan P2, adalah
:
Panjang vector v
= (v1, v2) disebut norma v,
dinyatakan dengan
, dan
Contoh
Jika diketahui vektor u =
(-1, 2) dan vector v = (3, 4)
a. Tentukan
komponen-komponen vector dengan titik awal u dan titik terminal v
b. Tentukan
jarak antara vector u dan v
c. Tentukan
panjang vector v
Jawab
a.
= (3 – (-1), 4 - 2) =
(4 , 2)
b.
d = 
= 
= 
c. 
Latihan
1.
Diketahui
vector
,
, dan
. Tentukan:
a. 
b. 
2. Diket ttk
P(1,3), Q(2,-1) dan R(-3,2).
Tentukan
a. komponen vektor 
b. 
c. panjang vektor 
d. jarak antara P dan R
C. Vektor di
R-3
Jika v
vector di R-3, maka v = (v1, v2,
v3) dimana (v1, v2, v3)
adalah koordinat titik terminal v.
Jika v = (v1, v2, v3),
w = (w1, w2, w3)
dan k sebarang scalar, maka berlaku :
Komponen-komponen vektor dengan titik awal P1 = (x1, y1,
z1) dan titik terminal P2 = (x2,
y2,z2) adalah :
dan jarak antara kedua titik tersebut adalah :
Norma v = (v1, v2,
v3) adalah :
Contoh
Misal u = (1, -3, 2) , v
= (1, 1, 0) dan w = (2, 2, -4). Tentukan nilai dari
!
Jawab
= 
=
=

Latihan
1. Diketahui
vektor
= i + 4j + 4k ,
= 2i + 5j – 3k dan
= 3i + j – 2k.
Tentukan
2. Diketahui
,
, dan
. Jika
, maka besar
adalah ...
3. Diketahui
titik A(6, 3, -1), B(2, 1, -1), & C(1, -4, 2).
mewakili
&
mewakili
. Tentukan jarak antara
dan
!
D. Hasil Kali Titik
Definisi Hasil Kali Titik
Jika u
dan v adalah vector di R-2 dan R-3, maka hasil kali titik u
. v didefinisiskan oleh:
u . v = (u1.v1
+ u2.v2 + u3.v3)
Jika q adalah sudut antara u dan v, maka:
Cos q =
;
dengan u ¹ 0 dan v ¹ 0
Contoh Soal 1
Tentukan sudut yang terbentuk antara vector
u = (1, 1, 0) dan v
= (1, 0, 0) !
Jawab
Cos q = 
q = Cos-1
= 60o
Contoh Soal 2
Diketahui ΔABC dengan titik sudut
A(4,-2,1), B(3,1,3), & C(6,-1,4). Besar sudut antara BC dan BA adalah …
Jawab
BC = C – B = (6 – 3, -1 – 1, 4 – 3) = (3, -2, 1)
BA = A – B = (4 – 3, -2 – 1, 1 – 3) = (1, -3, -2)
Besar sudut antara BC dan BA adalah:
q =
60o
Contoh Soal 3
Diketahui vektor
,
, dan
. Jika
tegak lurus
, maka hasil dari
adalah ...
Jawab
Cari x:
tegak lurus
artinya
.
= 0
6x + 2 + 4 = 0
6x = -6
x = -1
jadi 
= 78 + 0 – 21 = 57
Teorema
Misal u
dan v vector di R-2 dan R-3, maka :
a. v
. v = 
b. Jika u
dan v vector-vektor tak nol dan q
sudut antara kedua vector tersebut,
maka
: q sudut lancip Û u . v
> 0
q sudut tumpul Û u . v
< 0
q = 90o (u dan v
saling tegak lurus)
Û u . v
= 0
E. Proyeksi Ortogonal
Panjang proyeksi skalar ortogonal vektor 
pd
adl:
Vektor proyeksi ortogonal vektor
pd
adl:
Contoh
Diket = 2i – 2j + k, & = 3i + 4k. Tentukan:
a. Proy skalar ortogonal
pd
b. Vektor proy
pd
Jawab
Latihan
Diketahui P(5, 2, 1) & Q(9, 10, 13).
Tentukan:
a. titik A jika A membagi PQ dengan posisi A
di
dalam
PQ dengan perbandingan 1:3
b. titik B jika B
membagi PQ dengan posisi B di
luar PQ dengan perbandingan 1:3
UJI KOMPETENSI
UN 2012
Diket vektor
,
, dan
. Jika
tegak lurus
maka
adalah …
A.-34 B.
-32 C. -4 D. 6 E. 20
UN 2011
Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, -1, -1), dan
C(4, 2, -4). Besar sudut ABC adalah ...
A. p B. p/2 C. p/3 D. p/6 E. 0
UN 2012
Diketahui vektor
dan
. Besar sudut antar vektor
dan
adalah …
A. 30o B. 45° C.
60o D. 90° E. 120o
UN 2012
Diketahui vektor
dan
. Proyeksi orthogonal vektor
pada
adalah …
A. 5i + 2j + 9k C. 5i + j + 7k E.
6i + 2j + 4k
B. 6i - 2j + 4k D. 8i - 2j + 9k
UN 2013
Diketahui vektor
,
, dan
, dan vektor
. Vektor 
A. 5i + 6j + k C.
2i – 2 j E. 7i– 8j– 2k
B. 3i– 2j– 2k D.
7i + 8j– 2k
UN 2013
Diket vektor
dan
. Nilai sinus sudut antara vektor
dan
adalah ...
A.5/7 C.5Ö3/14
E. 2Ö6/7
B.11/14 D. 5Ö3/11
UN 2013
Diket vektor
dan
. Proyeksi vektor orthogonal
pada
adalah ...
A. –i + k C.-i-k E.2i-k
B.-i+ ½ k
D.-2i+k