Mathematic is my live, my energy

Mathematic is my live, my energy
Mathematic is my live, my energy

Hai..

Matematika sebagai Raja dan sekaligus Pelayan

Ada pendapat terkenal yang memandang matematika sebagai pelayan dan sekaligus raja dari ilmu-ilmu lain. Sebagai pelayan, matematika adalah ilmu dasar yang mendasari dan melayani berbagai ilmu pengetahuan lain. Sejak masa sebelum masehi, misalnya jaman Mesir kuno, cabang tertua dan termudah dari matematika (aritmetika) sudah digunakan untuk membuat piramida, digunakan untuk menentukan waktu turun hujan, dsb.

Sebagai raja, perkembangan matematika tak tergantung pada ilmu-ilmu lain. Banyak cabang matematika yang dulu biasa disebut matematika murni, dikembangkan oleh beberapa matematikawan yang mencintai dan belajar matematika hanya sebagai hoby tanpa memperdulikan fungsi dan manfaatnya untuk ilmu-ilmu lain. Dengan perkembangan teknologi, banyak cabang-cabang matematika murni yang ternyata kemudian hari bisa diterapkan dalam berbagai ilmu pengetahuan dan teknologi mutakhir.

MATEMATIKAWAN

Maria Gaetana Agnesi

Maria Gaetana Agnesi (1718-1799) adalah anak tertua dari 21 bersaudara, ia dilahirkan dalam keluarga Italia kaya dan terpelajar dan mempunyai ayah seorang matematikawan. Ia menguasai bahasa latin, bahasa Yunani, bahasa-bahasa Yahudi dan beberapa bahasa lainnya dalam usia 9 tahun. Pada usia 20 tahun ia memulai sebuah karyanya yang terpenting, sebuah buku ajar kalkulus. Untuk masanya, kejelasannya sungguh-sungguh mengagumkan dan merupakan buku ajar kalkulus luas yang pertama sejak karya dini dari I'Hospital. Buku itu memberikan banyak kehormatan termasuk pengakuan dari Kaisar Maria Theresa dan Paus Benediktus XIV.

Nama Agnesi menguasai suatu tempat dalam kepustakaan matematika melalui suatu sumbangan kecil Maria yakni pembahasannya tentang kurva yang dikenal sebagai versiera, yang berasal dari bahasa latin vertere yang artinya membalik. Kurva tersebut dikenal sebagai sihir dari Agnesi karena versiera dalam bahasa Italia berarti Iblis betina.

Pada peringatan seratus tahun meninggalnya, kota Milan menghormati Agnesi dengan memberi nama sebuah jalan atas namanya. Sebuah batu pertama di bagian muka gedung Luogo Pio bertuliskan prasasti yang isinya "terpelajar dalam matematika, keagungan Italia dan abadnya".


Johann Carl Friedrich Gauss

Johann Carl Friedrich Gauss (Gauß) (30 April 1777 - 23 Februari 1855) adalah matematikawan, astronom, dan fisikawan Jerman legendaris yang memberikan beragam kontribusi; ia dipandang sebagai salah satu matematikawan terbesar sepanjang masa selain Archimedes dan Isaac Newton.

Dilahirkan di Braunschweig, Jerman, saat umurnya belum genap 3 tahun, ia telah mampu mengoreksi kesalahan daftar gaji tukang batu ayahnya. Menurut sebuah cerita, pada umur 10 tahun, ia membuat gurunya terkagum-kagum dengan memberikan rumus untuk menghitung jumlah suatu deret aritmatika berupa penghitungan deret 1+2+3+...+100. Meski cerita ini hampir sepenuhnya benar, soal yang diberikan gurunya sebenarnya lebih sulit dari itu. [1]

Gauss ialah ilmuwan dalam berbagai bidang: matematika, fisika, dan astronomi. Bidang analisis dan geometri menyumbang banyak sekali sumbangan-sumbangan pikiran Gauss dalam matematika. Kalkulus (termasuk limit) ialah salah satu bidang analisis yang juga menarik perhatiannya.

Gauss meninggal dunia di Göttingen.

MATERI BULAN NOVEMBER

BAB. IV. VEKTOR



Motivasi
Saat ini, GPS (Global Positioning System) telah digunakan untuk mengetahui posisi sebuah kapal yang sedang berlayar di samudra. GPS menggunakan satelit untuk menentukan posisi sebuah objek dengan akurat. Dahulu, sebelum dikenal GPS, para pelaut menggunakan peta & kompas untuk menentukan posisi kapal ketika berada di tengah laut. Penentuan posisi, baik dengan menggunakan kompas, peta, ataupun GPS, erat kaitanya dengan bahasan vektor yang akan kita pelajari.

Inti Materi
A.            Pengertian Vektor
B.            Vektor di Ruang-2
C.            Vektor di Ruang-3
D.            Hasil Kali Titik
E.             Proyeksi Ortogonal
F.             Perbandingan Vektor
 
A. Pengertian Vektor
Vektor didefinisikan sebagai besaran yang mempunyai besar & arah. Secara geometris vector adalah segmen-segmen garis berarah (panah-panah). Arah panah menunjukkan arah vector dan panjang panah menyatakan besarnya. Ekor panah dinamakan titik awal dan ujung panah dinamakan titik terminal. Pada bab ini vektor dinyatakan dengan huruf kecil tebal.
Contoh:



A adalah titik awal vector u dan B adalah titik terminalnya, dapat ditulis u = .

B. Vektor di R-2

Misal u sebarang vector pada bidang, titik awal vector u di tempatkan di titik asal koordinat. Komponen-komponen vector u adalah koordinat titik terminal u yaitu (u1,u2), ditulis               u = (u1,u2).
 


 
Aljabar Vektor di Bidang
Text Box: v + w = (v1 + w1, v2 + w2)
v – w = (v1 - w1, v2 - w2)
k . v = (k . v1, k . v2)

Jika v = (v1, v2) dan  w = (w1, w2) dan k sebarang scalar, maka berlaku :




Contoh:
Misal u = (-1, 2) dan v = (3, 4), w = (0, -3). tentukan komponendari vector 2u + v - 3w
Jawab :
2u + v – 3w = (2(-1, 2) + (3, 4) – 3(0, -3))
                        = (-2, 4) + (3, 4) – (0, -9)
                        = (-2 + 3 - 0, 4 +  4 – ( -9))
                        = (1, 17)
Komponen-komponen vector dengan titik awal P1(x1, y1) dan titik terminal P2 = (x2, y2 ) adalah 
Text Box:   = P2 – P1 = (x2 – x2, y2 – y1) 


Text Box: d =  Dan jarak antara kedua titik P1 dan P2, adalah :


Text Box:   =  

Panjang vector v = (v1, v2) disebut norma v, dinyatakan dengan , dan

Contoh
Jika diketahui vektor u = (-1, 2) dan vector v = (3, 4)
a.       Tentukan komponen-komponen vector dengan titik awal u dan titik terminal v
b.      Tentukan jarak antara vector u dan v
c.       Tentukan panjang vector v
Jawab
a.    = (3 – (-1), 4 - 2) = (4 , 2)
b.   d =
         =
         =
c.   



Latihan
1.       Diketahui vector , , dan . Tentukan:
a.
b.
2. Diket ttk P(1,3), Q(2,-1) dan R(-3,2).   
     Tentukan
a. komponen vektor
b.
c. panjang vektor
d. jarak antara P dan R

C. Vektor di R-3

Jika v vector di R-3, maka v = (v1, v2, v3) dimana (v1, v2, v3) adalah koordinat titik terminal v.
Jika v = (v1, v2, v3), w = (w1, w2, w3) dan k sebarang scalar, maka berlaku :
Text Box: v + w = (v1 + w1, v2 + w2, v3 + w3)
v - w = (v1 - w1, v2 - w2, v3 - w3)
k . v = (k.v1, k.v2, k.v3)

 




Text Box:   = (x2 – x2, y2 – y1, z2 – z1)

Komponen-komponen vektor dengan titik awal P1 = (x1, y1, z1) dan titik terminal P2 = (x2, y2,z2) adalah :

Text Box: d =  dan jarak antara kedua titik tersebut adalah :


Text Box:   =  

Norma v = (v1, v2, v3) adalah :



Contoh
Misal u = (1, -3, 2) , v = (1, 1, 0) dan w = (2, 2, -4). Tentukan nilai dari  !
Jawab
  =
                          =  
                        =  
Latihan

1.       Diketahui vektor  = i + 4j + 4k ,  = 2i + 5j – 3k dan  = 3i + j – 2k. Tentukan  

2.       Diketahui , , dan .  Jika , maka besar  adalah ...

3.       Diketahui titik A(6, 3, -1), B(2, 1, -1), & C(1, -4, 2).  mewakili  &  mewakili . Tentukan jarak antara dan  !


D. Hasil Kali Titik

Definisi Hasil Kali Titik

Jika u dan v adalah vector di R-2 dan R-3, maka hasil kali titik u . v didefinisiskan oleh:
u . v  = (u1.v1 + u2.v2 + u3.v3)
Jika q adalah sudut antara u dan v, maka:
Cos q =    ; dengan u ¹ 0 dan v ¹ 0
Contoh Soal 1
Tentukan sudut yang terbentuk antara vector
u = (1, 1, 0) dan v = (1, 0, 0) !


Jawab
Cos q     =
       q      = Cos-1 = 60o
Contoh Soal 2
Diketahui ΔABC dengan titik sudut A(4,-2,1), B(3,1,3), & C(6,-1,4). Besar sudut antara BC dan BA adalah …
Jawab
BC = C – B = (6 – 3, -1 – 1, 4 – 3) = (3, -2, 1)
BA = A – B = (4 – 3, -2 – 1, 1 – 3) = (1, -3, -2)
Besar sudut antara BC dan BA adalah:
          
      q = 60o
Contoh Soal 3
Diketahui vektor , , dan . Jika  tegak lurus , maka hasil dari  adalah ...
Jawab
Cari x:  tegak lurus  artinya .= 0
6x + 2 + 4 = 0
6x = -6
x = -1
jadi
 = 78 + 0 – 21 = 57
Teorema
Misal u dan v vector di R-2 dan R-3, maka :
a. v . v =
b. Jika u dan v vector-vektor tak nol dan q  
    sudut antara kedua vector tersebut,  
    maka : q sudut lancip Û u . v > 0
                   q sudut tumpul Û u . v < 0
                   q = 90o (u dan v saling tegak lurus)  
                 Û u . v = 0
E. Proyeksi Ortogonal
Panjang proyeksi skalar ortogonal vektor
pd adl:



Vektor proyeksi ortogonal vektor pd adl:



Contoh

Diket   = 2i – 2j + k, &   = 3i + 4k. Tentukan:
a. Proy skalar ortogonal pd    
b. Vektor proy pd  
Jawab
a.     
                                                  
b.
                      
F. Perbandingan Vektor
Diket vektor A dan B dan P diantara AB dg perbandingan AP : PB = m : n, mk vektor P
adalah :

Contoh Soal
Diket A(5, 2, 1) & B(9, 10, 9). Tentukan ttk P jk P membagi AB dengan posisi:
a. P di dlm AB dg perbandingan 1:3
b. P di luar AB dg perbandingan 2:3
Jawab
a. AP : PB = 1 : 3
















 






b. AP : PB = -2 : 3



 



 
Latihan
Diketahui P(5, 2, 1) & Q(9, 10, 13). Tentukan:
a. titik A jika A membagi PQ dengan posisi A di
     dalam PQ dengan perbandingan 1:3
b. titik B jika B membagi PQ dengan posisi B di  
     luar PQ dengan perbandingan 1:3

UJI KOMPETENSI
UN 2012
Diket vektor , , dan . Jika   tegak lurus maka adalah …
A.-34     B. -32     C. -4       D. 6        E. 20
UN 2011
Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, -1, -1), dan C(4, 2, -4). Besar sudut ABC adalah ...
A. p        B. p/2      C. p/3     D. p/6     E. 0
UN 2012
Diketahui vektor  dan . Besar sudut antar vektor dan adalah …
A. 30o    B. 45°     C. 60o     D. 90°    E. 120o
UN 2012
Diketahui vektor  dan . Proyeksi orthogonal vektor  pada  adalah …
A. 5i + 2j + 9k      C. 5i + j + 7k        E. 6i + 2j + 4k
B. 6i - 2j + 4k       D. 8i - 2j + 9k
UN 2013
Diketahui vektor , , dan , dan vektor . Vektor
A. 5i + 6j + k        C. 2i – 2 j              E. 7i– 8j– 2k
B. 3i– 2j– 2k        D. 7i + 8j– 2k



UN 2013
Diket vektor  dan . Nilai sinus sudut antara vektor  dan adalah ...
A.5/7             C.5Ö3/14              E. 2Ö6/7
B.11/14         D. 5Ö3/11              
UN 2013
Diket vektor  dan . Proyeksi vektor orthogonal  pada  adalah ...
A. –i + k                     C.-i-k                                E.2i-k
B.-i+ ½ k     D.-2i+k

Follow by Email